RSA是由MIT的三位数学家R.L.Rivest，A.Shamir和L.Adleman[Rivest等1978, 1979]提出的一种用数论构造双钥的方法，被称为MIT体制，后来被广泛称之为RSA体制。其既可以作为加密，又可以用于数字签字。RSA算法的安全性基于数论中大整数分解的困难性。
算法描述
1.独立的选取两个大素数p和q
2.计算\(n = p * q\)，其欧拉函数值为\(\phi(n) = (p-1) * (q-1)\) 3.随机选一个整数\(e\)，\(1\leq e\leq \phi(n) , gcd(\phi(n),e) = 1\) #gcd为最大公约数 4.在模\(\phi(n)\)下，计算e的逆元\(d = e^{-1} mod \phi(n)\) #意思是\((e * d) mod \phi(n) =1\) 5.以n,e为公钥，密钥为d加密
将明文分组，每组的数要求小于n（字符串就想办法映射到整数） 计算\(c = m^e mod n\)，其中m为明文，c为可以传输的密文解密
计算\(m = c^d mod n\)这个过程中只有算法描述中的第三步可能不是直接想到求解方法，对应这个问题，可以用扩展的欧几里得算法来求逆元。
以下算法内容来源自华中科技大学的PPT，在此注明。
问题：求A关于模N的逆元B
迭代计算 N ＝ A × a0 ＋ r0 A ＝ r0 × a1 ＋ r1 r0＝ r1 × a2 ＋ r2 r1＝ r2 × a3 ＋ r3 …… rn-2＝ rn-1 × an ＋ rn rn-1＝ rn-2× an+1＋ 0 对上面的商数逆向排列(不含余数为0的商)
其中\(b_{-1} = 1\)，\(b_0 = a_n\)，\(b_i = a_{n-i} * b_{i-1} + b_{i-2}\) 如果商的个数为偶数，则\(b_n\)就是所求的B 如果商的个数为奇数，则\(N-b_n\)就是所求的B 例1：求61关于模105的逆元
105＝61×1＋44 61 ＝44×1＋17 44 ＝17×2＋10 17 ＝10×1＋7 10 ＝7 ×1＋3 7 ＝3 ×2＋1 3 ＝3 ×1＋0
例二：求31关于模105的逆元
105＝31×3＋12 31 ＝12×2＋7 12 ＝7 ×1＋5 7 ＝5 ×1＋2 5 ＝2 ×2＋1 2 ＝1 ×2＋0
商的个数是奇数，所以105-44 = 61为31关于模105的逆元 代码实现如下：
# coding=utf8class RSA: def encrypt(self, string, n, e): ''' use RSA algorithm to encrypt string :param string: the String need to be encrypt :param n: p * q :param e: encrypt code number :return: encrypt number 这里是将字符先转换为ASCII值再加密 ''' s = [] for i in string: s.append(str(ord(i))) for i in range(len(s)): s[i] = int(s[i]) ** e % n return s def decrypt(self, p, q, e, encoding): ''' :param p: prime number p :param q: prime number q :param e: encrypt code number :param encoding: the string that need to be decrypted :return: the string that decrypt the encoding number 这里相应的多了一步将ASCII转为字符后拼接的过程 ''' f_n = (p - 1) * (q - 1) n = p * q d = RSA.ext_euclid(e, f_n) s = [] for i in range(len(encoding)): s.append(chr(encoding[i] ** d % n)) return ''.join(s) @staticmethod def ext_euclid(e, f_n): ''' :param e: encrypt code number :param f_n: p * q :return: the number that multiply e mod n equals 1 ''' nc = f_n if e > f_n or type(e) != int or type(f_n) != int: return -1 quotient = [] #商的列表 remainder = -1 #余数 while remainder != 0: quotient.append(f_n / e) remainder = f_n - (f_n / e) * e f_n = e e = remainder quotient = quotient[:-1][::-1] #对应上面写的将商逆序写出来 d_list = [1, quotient[0]] for i in range(1, len(quotient)): d_list.append(d_list[-1] * quotient[i] + d_list[-2]) return d_list[-1] if len(quotient) % 2 == 0 else nc - d_list[-1] #如果商的个数是偶数，直接返回bn，否则返回N - bnif __name__ == '__main__': r = RSA() p = int(raw_input("p = ")) q = int(raw_input("q = ")) e = int(raw_input("e = ")) string = raw_input("String: ") en = r.encrypt(string, p * q, e) print "encrypted code: ", ' '.join(map(str, en)) print "decrypted code: ", r.decrypt(p, q, e, en) 运行如图：
这里可以用小素数的原因是在代码中将明文简单的按字符分组了，但这样会收到频率分析的攻击，在此仅是实验用。